En su columna del 28-03-19 en El Espectador, el doctor José Fernando Isaza hace ciertas afirmaciones matemáticas que no se pueden dejar pasar inadvertidas. Pasemos sí de largo sobre sus confusas apreciaciones acerca de la visión platónica del mundo y concentrémonos en lo concreto. Antes digamos que la cantidad de elementos de un conjunto se llama cardinalidad.
En matemáticas, infinito es un término que hay que definir, pero es fácil aceptar sin definición que la cardinalidad del conjunto de los números naturales (1, 2, 3, …) es infinita. De todo conjunto que se pueda “contar” con los números naturales se dice que es contable. La cardinalidad del conjunto de los naturales se bautiza con la primera letra del alefato hebreo, álef, con el subíndice 0: álef subcero (que no “aleph cero”). También es fácil aceptar que no puede existir otro infinito más simple.
A pesar de la impresión de primera vista de que los números racionales o “quebrados” son mucho más abundantes que los naturales (en efecto, estos últimos son apenas un subconjunto propio de aquellos), no es complicado demostrar que los racionales son contables. Pero, como lo cuenta Isaza, los pitagóricos descubrieron que había números que no se podían expresar como el cociente de dos enteros, en particular el número que elevado al cuadrado da 2 (“raíz cuadrada de 2”). Otro ejemplo es el popular pi. Son los que llamamos irracionales, y no es difícil ver que su cardinalidad no puede ser menor que la de los naturales.
Más precisamente, hace siglo y medio Cantor demostró que la cardinalidad de los irracionales es mayor que la de los racionales, es decir, es un infinito (número transfinito en la terminología matemática) mayor que álef subcero, y se denomina álef subuno. La unión de todos los racionales con todos los irracionales es lo que se llama números reales, cuya cardinalidad es la misma de la de los irracionales, o sea álef subuno (porque, dado un conjunto infinito, la unión con cualquier conjunto contable no le “agrega” cardinalidad al primero). Tenemos, pues, ya dos números transfinitos diferentes y uno mayor que el otro, y hasta aquí está correcto Isaza.
También es cierto que “los trabajos de los matemáticos del siglo XIX mostraron que hay números que no son soluciones de ninguna ecuación polinómica; se les dio el sonoro nombre de números trascendentes”. Los que sí son soluciones de ecuaciones polinómicas (como la raíz de 2, que es la solución de x² = 2) se denominan números algebraicos. Resulta que los números algebraicos son infinitos, pero “poquitos”, pues son también contables, i.e., su cardinalidad es también la misma de los naturales: álef subcero.
El resto de los reales, sacándoles los algebraicos, es lo que llamamos números trascendentes —nuevamente, pi sirve de ejemplo—, y, siendo un subconjunto de los reales, su cardinalidad tiene que ser igual a la de estos, o sea álef subuno. Por consiguiente, la afirmación de Isaza acerca de que “los números trascendentes forman un infinito mayor que el de los irracionales” es perfectamente falsa. Como es también falsa la aseveración de que “los números omega [de Chaitin] son un infinito mayor que los trascendentes”, dado que esos números son también un subconjunto de los reales.
Dicho lo anterior, agreguemos que sí existe toda una cadena de transfinitos sucesivamente mayores: álef subcero, álef subuno, álef subdós, álef subtrés… Es fácil construir, por ejemplo, un conjunto de cardinalidad álef subdós (la que le sigue a la de los reales): basta considerar el conjunto que se forma tomando como elementos suyos todos los subconjuntos posibles de los reales.
Bernardo Mayorga.
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