Por la escalinata infinita de ?

Desde épocas remotas, los matemáticos se han preocupado por determinar el valor de esta constante universal, definida como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Al más grande hombre de ciencia de la antigüedad, Arquímedes, le debemos el célebre “método de exhausión” del área del círculo por medio de polígonos inscritos y circunscritos, única herramienta disponible durante más de un milenio para sondear a ?. Utilizando esta técnica, el gran matemático de Siracusa concluyó que este número ubicuo podía aproximarse por defecto mediante la fracción 223/71 (3,1408…).

Durante el siglo XVI, varios matemáticos europeos alcanzaron a penetrar más allá de la primera decena de sus cifras decimales. Tras consagrar su vida al cálculo de ?, y utilizando un gigantesco polígono de 2^62 lados, Ludolph van Ceulen pudo determinar 35 de ellas. El número ludolphino, como aún se lo conoce en Alemania, aparece grabado en su tumba a manera de homenaje póstumo a su labor titánica.

Con el desarrollo del cálculo infinitesimal, el antiguo método arquimediano fue sustituido por aquel de las novísimas series infinitas. En 1706, John Machin se valió del desarrollo en serie de la función arco tangente para obtener 100 decimales de ?. Un siglo más tarde, Johann Dase, el calculista que servía a Gauss de computador humano, utilizó la misma serie para calcular 205. De ese prodigio se cuenta que podía multiplicar mentalmente números de hasta cien dígitos, lo cual le tomaba cerca de ocho horas. Se dice que era epiléptico, y que sus otras habilidades intelectuales eran bastante limitadas.

El récord de cifras de ? calculadas a cerebro limpio se debe al matemático aficionado William Shanks. En 1873, y después de veinte años de arduo trabajo (labor digna de un maniaco obsesivo), Shanks alcanzó la cifra decimal número 707. Cuentan sus biógrafos que durante estas dos décadas su rutina fue siempre la misma: en la mañana computaba compulsivamente, y destinaba la tarde entera a revisar sus cálculos. Por desgracia, años más tarde se supo que el tenaz matemático británico había cometido un fatídico error al llegar al dígito 528, lo cual arruinaba el cálculo de las restantes 180 cifras, las más gloriosas, y las más difíciles.

Con la aparición de los computadores electrónicos, el antes laborioso cálculo de ? se convirtió en asunto bien diferente. Uno de los primeros cerebros artificiales, el ENIAC, entró en funcionamiento a finales de la década de 1940. La máquina contenía más de 17.000 válvulas de vacío, 7.200 diodos de cristal, 1.500 relés y alrededor de 5 millones de soldaduras. Pesaba 27 toneladas y ocupaba una superficie de 167 metros cuadrados (aunque era menos capaz que una calculadora programable de bolsillo). Su gigantesco cerebro podía realizar cinco mil sumas y trescientas multiplicaciones por segundo. Puesto en marcha, la temperatura del salón que daba albergue al monstruo alcanzaba los cincuenta grados centígrados. Para alimentarlo se requería la enorme potencia de 160 kilowatios, lo cual hacía que todas las bombillas del alumbrado público en varias cuadras a la redonda quedaran convertidas en tenues farolitos rojos. Programado por John von Newmann, el ENIAC pudo computar 2.037 cifras decimales de ?.

En 1958, la marca mundial se elevó a cuarenta mil dígitos. En 1961, en un IBM 7090, tras ocho horas de cálculos se pudo conocer hasta la cifra 100.265. La marca del primer millón de decimales se logró en 1973, hazaña realizada en solo un día por un computador CDC7600.

Pero no todo podía resolverse mediante fuerza bruta: se necesitaron nuevos algoritmos para poder continuar en el lento ascenso por la infinita escalinata de ?. Un apunte sobre las funciones modulares hallado en un viejo cuaderno del genio hindú Srinivasa Ramanujan fue la clave para que los hermanos Jonathan y Peter Borwein pudieran desarrollar métodos revolucionarios que permitieron calcular varios miles de millones de cifras más. El récord mundial lo ostenta hoy Shigeru Kondo, quien en 2010 alcanzó a computar ¡diez billones de dígitos!

Cincuenta cifras de ? bastarían para determinar la circunferencia del universo con un error inferior al diámetro de un átomo. Pero no son precisamente las aplicaciones prácticas el móvil de quienes ansían descifrar el misterioso número. Sus infinitas cifras proporcionan un reto para la inteligencia humana, y una quimera, pues se sabe desde el siglo XVIII que ? es irracional y en consecuencia incognoscible en su totalidad, pues sus decimales nunca se repiten periódicamente. Tampoco es posible aprehenderlo mediante un número finito de operaciones algebraicas, ya que también es trascendente, lo que hace irrealizable el viejo sueño griego de la cuadratura del círculo.

Pero quizá la propiedad más sorprendente de este número inefable sea su aleatoriedad. De un lado, cada cifra de ? puede computarse sin ambigüedad, siguiendo uno de los muchos algoritmos conocidos. De otro lado, al mirar en conjunto sus cifras decimales, estas aparecen distribuidas de manera aleatoria, sin que pueda distinguirse ningún patrón definido, como si hubiesen sido generadas al azar. Esta aleatoriedad hace de su expansión decimal un libro infinito que abarcaría todos los textos imaginables, como aquellos de la mítica Biblioteca de Babel de Borges.

Supe de un profesor de matemáticas que solía impresionar a sus alumnos con sus dotes de calculista. Comenzaba por escribir en el pizarrón la famosa serie de Leibniz ? = 4/1-4/3+4/5-4/7+…, y acto seguido procedía a sumarla en su mente. En cuestión de minutos las cifras de ? comenzaban a brotar como por arte de magia: 3,1415926535897932384626433832795…

Por supuesto que nadie ni nada, ni siquiera el más veloz de los computadores, podría ejecutar aquella suma a semejante velocidad, pues solo para alcanzar los diez primeros decimales harían falta más de 10.000 millones de operaciones. De otro modo, no dejaba de ser admirable que fuese capaz de memorizar una cantidad tan asombrosa de dígitos.

Supe después que el truco es harto sencillo, y consiste en simple nemotecnia al alcance de cualquier mortal. Existen versos en alemán, inglés y español que permiten recordar sin dificultad varias decenas de cifras decimales de ?. Uno, debido al ingeniero colombiano Rafael Nieto París, transcribe las primeras ochenta. Basta ir cambiando cada palabra del texto por el número de sus letras (los ceros se indican mediante palabras de diez letras) para reproducir lo que Ludolph van Ceulen tardó una vida entera en hallar: “Soy ? lema y razón ingeniosa/ de hombre sabio que serie preciosa/ valorando enunció magistral./ Con mi ley singular bien medido/ el amplio orbe por fin reducido/ fue al sistema ordinario ideal/Arquímedes en ciencias preciado/crea ? monumento afamado…”