El esquivo azar

En un popular programa de concurso en la televisión norteamericana, “hagamos un negocio”, el participante se situaba frente a tres puertas, A, B y C, una de las cuales ocultaba un Ferrari último modelo. Para ganar el premio, el concursante primero debía escoger una de las puertas, por ejemplo la C. Luego, el presentador, que sabía donde se escondía el carro, se dirigía hacia una de las otras dos puertas, digamos la B, y la abría para mostrar que allí no estaba el Ferrari. A continuación le ofrecía al participante la posibilidad de permanecer fiel a su elección inicial, o cambiar de puerta –en el ejemplo, cambiar la puerta C por la A–. Es muy posible que ante el dilema el invitado hubiese razonado así: descartada la puerta B, el premio se esconde detrás de A, o detrás de C. Es obvio que da igual si me quedo con C o cambio a A; en cualquier caso mi probabilidad de acertar será del 50%. ¿Es correcto su razonamiento?

Es inusual que una cuestión matemática dé origen a un debate tan acalorado como el que generó este sencillo acertijo. La disputa llegó a su punto máximo después de que la escritora norteamericana Marilyn vos Savant –quien ostenta el record Guinness de la persona con el cociente intelectual más elevado del mundo– explicara en su columna dominical en la revista Parade por qué la estrategia de cambiar de puerta duplicaba las probabilidades de quedarse con el Ferrari. La respuesta no se hizo esperar: los editores de Parade recibieron miles de cartas de lectores enfurecidos, muchos de ellos doctores en matemáticas, que tildaban a Vos Savant de ignorante y atrevida. Ella respondió a las críticas con un solo comentario: “Si todos esos doctores creen que estoy equivocada, el país se encuentra en graves problemas”.

Un pequeño giro a las reglas del concurso permite comprender por qué Marilyn tiene razón. De hecho, al cambiar de puerta, la probabilidad de ganar el premio es 2/3, mientras que sin cambiar esta probabilidad se reduce a 1/3. Si pensamos que hay cien puertas en lugar de tres, entonces es obvio que de permanecer fiel a la elección original ganaríamos el Ferrari solo cuando señalemos de entrada la puerta correcta, lo que ocurriría en promedio una de cada cien veces. Pero si después de que el presentador abra todas las otras puertas, excepto una, nos decidimos por esta puerta, perderíamos el carro solo de haber señalado al comienzo la puerta premiada. En otras palabras, cambiando de puerta acertaríamos noventa y nueve de cada cien juegos.

Entre los sesgos humanos, quizás uno de los más fuertes sea el egocéntrico. Juzgamos las probabilidades desde nuestras experiencias personales. Los sicólogos han notado una fuerte tendencia a sobrestimar la probabilidad de ocurrencia de algún fenómeno cuando éste va acompañado de un efecto psicológico sobresaliente. Por ejemplo, estimamos en un valor mayor las probabilidades de tener un accidente de tránsito después de haber sufrido uno en carne propia, o inclusive con solo haber sido testigos presenciales. Y minimizamos estas probabilidades después de largos períodos en que no tenemos ninguno.

Los casinos, juegos de azar y todo tipo de loterías deben su existencia a este sesgo universal. El comprador consuetudinario de lotería insiste en que “alguien tiene que ganar, y que ese alguien también puedo ser yo”. Poco le importa que la probabilidad de acertar el premio mayor, como en el caso del baloto, sea un poco menor que uno en ocho millones (para que su apuesta fuera favorable tendría que recibir una recompensa mayor a ocho millones veces el valor del billete). Le daría igual que esta probabilidad fuese igual a una cienbillonésima. En la región de lo infinitesimal nuestras mentes se comportan como el rudimentario microscopio de Leeuwenhoek, incapaz de discriminar entre la cabeza y la cola de los miles de “animálculos que nadan en el esperma”.

Existe una sencilla manera de comprender cuán improbable resulta ganar el baloto: imaginemos ocho mil ejemplares de El Quijote, en formato estándar, acomodados en una larga fila de anaqueles de casi un kilómetro de longitud. Solo uno de los libros lleva una pequeña cruz marcada en alguna de sus páginas. El jugador de baloto puede pensarse como un caminante que recorre la larga fila, decide detenerse en algún punto, elige un libro al azar y lo abre en cualquier página. ¡La probabilidad de acertar los seis números sería comparable a la de encontrar la cruz!

Tenía razón el lógico norteamericano Charles Sanders Peirce cuando afirmaba, refiriéndose a la teoría de las probabilidades, que no existe otra rama de las matemáticas en la que sea tan fácil para un experto cometer grandes disparates. Hasta el genio inconmensurable de Leibniz murió convencido de que era igualmente probable sacar once que doce al lanzar dos dados.